Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & a \\ 3 & - a & 1 \\ 1 & - 2 & 3 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - a & 1 \\ - 2 & 3 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - a & 1 \\ - 2 & 3 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} - a & 1 \\ - 2 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} | + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} - a & 1 \\ - 2 & 3 \end{array} |$ .

$0 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} | + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 1 (3 \cdot 3 - 1 \cdot 1) + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$0 + 1 (9 - 1 \cdot 1) + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 + 1 (9 - 1) + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 3.2.2

Soustrayez $1$ de $9$ .

$0 + 1 \cdot 8 + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 1 \cdot 8 + a (3 \cdot - 2 - - a)$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$0 + 1 \cdot 8 + a (- 6 - - a)$

Étape 4.2.2

Multipliez $- - a$ .

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 + 1 \cdot 8 + a (- 6 + 1 a)$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $a$ par $1$ .

$0 + 1 \cdot 8 + a (- 6 + a)$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Additionnez $0$ et $1 \cdot 8$ .

$1 \cdot 8 + a (- 6 + a)$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$8 + a (- 6 + a)$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$8 + a \cdot - 6 + a \cdot a$

Étape 5.2.3

Déplacez $- 6$ à gauche de $a$ .

$8 - 6 \cdot a + a \cdot a$

Étape 5.2.4

Multipliez $a$ par $a$ .

$8 - 6 a + a^{2}$